Cho hình lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, A ' C = a . Gọi x là góc giữa hai mặt phẳng A ' C B và A B C để thể tích khối chóp A ' . A B C lớn nhất. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp A ' . A B C theo a
A. a 3 3 3
B. a 3 3 9
C. a 3 3 27
D. a 3 3 81
Đáp án C
Ta có
B C ⊥ A C , B C ⊥ A A ' ⇒ B C ⊥ A ' A C C ' ⇒ B C ⊥ A ' C .
Suy ra
A ' C B , A B C ^ = A ' C , A C ^ = A ' C A ^ = x , 0 < x < π 2 .
Δ A ' A C vuông tại B nên
A A ' = A ' C . sin A ' C A ^ = a sin x ; A C = a cos x .
Suy ra
V A ' . A B C = 1 3 . A A ' . S Δ A B C = 1 3 . a sin x . a cos x 2 2 = a 3 6 sin x cos 2 x .
Xét hàm số
f x = sin x cos 2 x = sin x 1 − sin 2 x trên 0 ; π 2 .
Đặt t = sin x , do x ∈ 0 ; π 2 ⇒ t ∈ 0 ; 1 . Xét hàm số g t = t 1 − t 2 trên 0 ; 1 .
Ta có
f ' t = 1 − 3 t 2 ; f ' t = 0 ⇔ t = ± 1 3 .
Do t ∈ 0 ; 1 nên t = 1 3 .
Lập bảng biến thiên, suy ra max x ∈ 0 ; π 2 f x = max t ∈ 0 ; 1 g t = g 1 3 = 2 3 9 .
Vậy V max = a 3 6 . 2 3 9 = a 3 3 27 (đvtt).
Cho hình lăng trụ đứng ABC,A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, A’C=a. Gọi x là góc giữa hai mặt phẳng (A’CB) và (ABC) để thể tích khối chóp A’.ABC lớn nhất. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp A’.AB theo a
A. a 3 3 3
B. a 3 3 9
C. a 3 3 27
D. a 3 3 81
Cho lăng trụ đứng A B C . A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông cân tại B, A B = a . góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng A B C bằng 30 ° . Thể tích khối lăng trụ bằng
A. 6 6
B. 6 18
C. a 3 6 18
D. a 3 6 6
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C ; SA vuông góc với đáy; SC = a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Tính để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất
Đáp án B
Ta có BC ⊥ AC và BC ⊥ SC, do đó góc giữa mp (SBC) và mp (ABC) chính là góc SCA.
Mặt khác
Vì tam giác SAC vuông tại A nên ta có
đặt t = sin α ta có hàm số thể tích theo t như sau
Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, BC=2a, A'B vuông góc với mặt phẳng (ABC) và góc giữa A'C và mặt phẳng (ABC) bằng 30 0 (tham khảo hình vẽ bên). Tính thể tích khối lăng trụ
A. a 3 3
B. 3 a 3
C. a 3
D. a 3 6
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C ; SA vuông góc với đáy; SC = a. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC). Tính sin α để thể tích khối chóp S.ABC lớn nhất
A. sin α = 1 3
B. sin α = 1 3
C. sin α = 2 3
D. sin α = 6 3
Đáp án B
Vì tam giác SAC vuông tại A nên ta có
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC = a√6. Góc giữa mặt phẳng (AB'C) và mặt phẳng (BCC'B') bằng 600. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'?
A . V = 2 a 3 3 3
B . V = a 3 3 2
C . V = 3 a 3 3 4
D . V = 3 a 3 3 2
Chọn D
Vì tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh BC = a√6 nên AB = AC = a√3.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A (0;0;0), B (0; a√3; 0), C (a√3;0;0), A' (0;0;z) (z > 0).
VTPT của (BCC'B') là:
VTPT của mặt phẳng (BA'C) là:
Vì góc giữa mặt phẳng và mặt phẳng bằng nên:
Vậy thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là:
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a, BAC = 120 ° , mặt bên (AB'C') tạ0 với mặt đáy (ABC) một góc 60 ° . Gọi M là điểm thuộc cạnh A'C' sao cho A'M = 3MC'. Tính thể tích V của khối chóp CMBC'
A. V = a 3 32
B. V = a 3 8
C. V = a 3 24
D. V = a 3 8
Chọn A.
Gọi I là trung điểm của B'C' 
Ta có 
Lại có
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB=AC=a, B A C ^ = 120 o mặt bên (AB'C') tại với mặt đáy (ABC) một góc 60 0 . Gọi M là điểm thuộc cạnh A'C' sao cho A'M=3MC'. Tính thể tích V của khối chóp CMBC'
A. a 3 32
B. a 3 8
C. a 3 24
D. 3 a 3 8
